CUENTOS
El Vectorcito Rojo y la Matriz Feroz
Érase una vez un vectorcito que vivía con
su familia generadora en su casita, V. Era un vectorcito
muy joven, pues apenas acababa de cumplir un módulo.
Tenía el sobrenombre de Vectorcito Rojo por ser una
ferviente admiradora de Lindeloff, famoso comunista de la época.
Cierto día, su mamá la llamó:
-"¡Eh, Vectorcito Rojo, ven aquí!. Quiero que lleves estas
coordenadas a la casa W de tu abuelita, pues la pobre está muy sola
desde que se ha restringido a un espacio de dimensión 1, pero ten cuidado
cuando vayas por el bosque Hom(V,W), pues hace tiempo que acecha una matriz
muy, muy feroz."
-"Sí, mamá.", dijo Vectorcito Rojo.
Entonces su mamá cogió un 2-cubo abierto de "papé arbá",
puso las coordenadas y estiró y retorció (pero sin romper ni
pegar) el 2-cubo hasta convertirlo en una esfera menos un punto. Después
se la dio a Vectorcito.
-"¡Ah!, y sobre todo no te entretengas cogiendo grafos por el camino,
ya sabes que hay que cuidar el entorno."
-"No te preocupes, mamá.", y dicho esto, se orientó hacia
la casa de su abuelita.
Vectorcito Rojo se movía alegremente a través del bosque Hom(V,W),
pues pensaba que la matriz debía de rondar muy lejos, por lo menos en
el quinto isomorfismo, cuando de repente, algo saltó detrás de
una función y se plantó delante de Vectorcito Rojo. Vectorcito
le reconoció: era la matriz de la que le había hablado su mamá.
Parecía muy, muy fuerte (coloquialmente hablando, la matriz estaba cuadrada)
y la miraba con maldad.
-"¿Dónde vas, Vectorcito Rojo?."
-"Voy a llevarle estas coordenadas a mi abuelita.", dijo ella muerta
de miedo.
-"¿Me dejas probar alguna? Hace tiempo que no como nada desde que
me echaron de GL(n,k) por degenerado."
-"No," dijo Vectorcito, "son para, y sólo para, mi abuelita."
-"Hagamos una cosa." dijo la matriz, "Te echo una carrera hasta
la casa de tu abuelita, y si llego antes que tú tendrás que darme
al menos una."
Vectorcito Rojo vaciló: su familia vivía en un espacio de clase
media (más concretamente C¹) y además de dimensión
finita, así que no podía ir por ahí tirando una coordenada
como si estuviera en un espacio proyectivo.
-"No," dijo Vectorcito Rojo, "tengo como norma no entretenerme
y coger siempre el camino más corto" (esta norma, de uso tan extendido,
es también conocida como norma euclídea).
-"Te doy ventaja: contaré hasta omega antes de empezar a correr.",
dijo la matriz.
Vectorcito Rojo pareció cambiar de opinión: la matriz parecía
sincera, al menos en casi todo. Vectorcito Rojo asintió, y empezó a
correr.
Pero he aquí que la matriz, al ser degenerada, era muy tramposa, y como
tal contó hasta omega, pero usando el axioma de elección, con
lo que tardó muy poco. Entonces empezó a correr a través
del bosque adquiriendo una velocidad extraordinaria (no en vano era una matriz
4x4) y llegando a casa de la abuelita un tiempo t antes que Vectorcito Rojo.
Una vez que llegó la matriz a casa de la abuelita, llamó a la
puerta, que estaba cerrada. La verdad es que la abuelita era una persona muy
discreta pues toda su casa siempre estaba cerrada (y abierta a quien la abuelita
quisiera).
-"¿Quién es?.", preguntó la abuelita.
-"Soy yo abuelita, tu querida nietecita."
-"No conozco tu voz, querida."
-"Es que estoy mal de la garganta, por culpa del gradiente de la mañana."
-"No te creo, dime, ¿qué te regalé cuando cumpliste
1/2 módulo?."
-"Un juego de polígonos constructibles con regla y compás."
-"Es cierto que eres mi nietecita, entra querida mía."
Y nada más entrar, la malvada matriz engulló a la abuelita, sin
darle tiempo a decir ni pi, entonces se disfrazó como ella, se metió en
la cama, y esperó.
Y nosotros nos preguntamos: ¿cómo sabía la matriz el regalo
de la abuelita?. Pues resulta que la malvada matriz vio un día a la
abuelita comprar este regalo en Gauss`r`us, la tienda de juguetes maximal de
X, de ahí que conozca el regalo, pero eso es otra historia.
Al cabo de un rato llegó Vectorcito Rojo. Se retrasó un poco
por culpa de las obras de parametrización de la nueva carretera.
Llamó a la puerta.
-"¿Se puede abuelita?."
-"Entra hija, y cierra la puerta que entra mucho flujo.", respondió la
malvada matriz.
-"Abuelita, abuelita, qué filas más grandes tienes."
-"Son para reducirme mejor.", dijo la matriz.
-"Abuelita, abuelita, y qué ceros más grande tienes."
-"Son para rodar mejor.", dijo la matriz.
-"Abuelita, abuelita, y qué unos más grandes tienes."
-"¡¡Son para comerte mejor!!." gritó la matriz.
Y dicho esto la matriz se abalanzó sobre Vectorcito y se la comió.
Una vez en el interior de la matriz, Vectorcito se encontró con su abuelita.
-"¡Socorro, socorro, quiero salir de aquí!."
-"No podemos, hija" dijo la abuelita, "la matriz está cerrada
hermíticamente."
La matriz salió de casa de la abuelita. Estaba traspuesta por el festín
que se había dado y se disponía a dormir cuando apareció Jordan,
el leñador, que había presenciado todo aquello. Jordan cogió su
hacha, y armado de valor y autovalor se acercó y...¡zas! de un
solo tajo diagonalizó la matriz expulsando a la abuelita y a Vectorcito
entre los restos de su polinomio característico (el cual por cierto
había quedado intacto por la acción de Jordan).
Entonces Jordan cogió los restos de la matriz y las guardó en
una caja 2x2 y dos cajas 1x1, las ató con una n-cadena y las mandó a
un cuerpo algebraicamente cerrado, donde no podría salir por muchos
polinomios que tomara.
Una vez hecho esto, Vectorcito Rojo le dio las gracias al leñador Jordan
y al cabo de un tiempo se casaron, y fueron felices, y redujeron matrices.
Y colorín, corolario colorado, este cuento se ha terminado.
Los Tres Ceritos
Érase una vez tres ceritos que vivían en un cuerpo K. Uno era muy
listo, otro muy vago, y otro muy confiado.
Un buen día llegó a visitarles su amigo el uno. En muchos cuerpos
como éste, era costumbre que el uno hiciera estas visitas cada cierto
tiempo característico (la característica de un cuerpo es el menor
entero n tal que 1+...+1(n veces)=0), que dependía del cuerpo donde
vivían. Sin embargo, ese día, su amigo les trajo malas noticias.
-"Lo siento amigos míos, pero tendréis que marcharos. El
congreso acaba de aprobar una ley conocida como ‘Teorema de unicidad
de elementos neutros para la suma,’ que prohíbe la estancia en
el cuerpo de más de un cero."
-"¡Oh, vaya!, dos de nosotros tendrán que irse.",dijo
uno de los ceritos.
-"Lo siento, pero el puesto ya está cogido por un cero con enchufe.
Dicen que es primo del famoso Cero de Hilbert. Temo que tendréis que
iros los tres."
Apenados, los ceritos cogieron sus pertenencias, y se fueron mucho más
allá de las extensiones finitas, a un espacio normado propiedad de un
multimillonario llamado Hausdorff, amigo de los ceritos, el cual les dejó vivir
allí.
Como había mucho terreno libre por habitante, debido a que la topología
empleada en la construcción del espacio era
muy fina, decidieron construirse una casita para cada uno.
-"Yo me haré una casita con hiperplanos." dijo el cerito más
confiado. Dicen que este cerito era tan confiado, que cuando iba al médico
a hacerse un análisis matemático, siempre se los hacía
sin ningún tipo de rigor.
-"Yo me construiré una casa con matrices." dijo el cerito
más vago. Malas lenguas contaban que era tan vago, que en la fábrica
de ecuaciones donde trabajaba, sólo producía ecuaciones con solución
trivial.
-"Pero deberíais haceros casas más fuertes, pues sé que
por aquí ronda una esfera descentrada muy feroz, que os comerá cuando
tenga la oportunidad.", dijo el cerito sabio. Cuentan que este cerito
era tan sabio que incluso ¡aprendió a dividir números!
(según la definición de divisibilidad, el cero no puede dividir
a ningún número).
-"¡Bah, no tenemos miedo de esa esfera, nuestras casitas nos protegerán!."
-"Haced lo que queráis, pero yo me haré una casa fuerte,
compacta, y por lo tanto cerrada y acotada.", y dicho esto, se marchó.
Al cabo de un tiempo, cada cerito había terminado su casita. El cerito
confiado tenía su casita hecha de hiperplanos y el cerito vago su casita
compuesta enteramente de matrices.
Al cerito sabio le costó mucho trabajo hacer su casa, pues primero tuvo
que comprar un 3-cubo compacto y empezar a parametrizar la casa. Cuando acabó,
se dio cuenta de que el tejado tenía algunas discontinuidades evitables
que producirían goteras cuando lloviera, así que tuvo que comprar
unos cuantos abiertos para recubrir los agujeros por continuidad.
Una vez terminada la casa, comenzó a construirle una cota alrededor
(como su casa era compacta, sabía que podría construir una),
pero como había tenido la precaución de hacer su casa diferenciable
pudo localizar fácilmente los puntos más alejados y a partir
de ahí construir la cota.
Como veis al cerito sabio le fueron muy útiles sus conocimientos sobre
derivadas, que aprendió de sus múltiples peregrinaciones por
la Ruta Jacobiana.
Pasó el tiempo, y la esfera se percató de ellos.
-"Parece que tenemos aquí comida deliciosa. Me alegro, empezaba
a estar harto de alimentarme de restos de divisiones euclídeas."
Y dicho esto, la malvada esfera fue directa a casa del cerito confiado (como
estaba descentrada, la malvada esfera podía moverse por donde quisiera,
dado que todos los puntos deben distar siempre lo mismo del centro).
No tardó mucho en encontrar al cerito confiado, pues mirara por donde
mirara, siempre veía parte de su casa, (una recta y un hiperplano proyectivos
siempre se cortan, en este caso, la recta es la mirada de la esfera y el hiperplano
el material de que está hecha la casa del cerito confiado) así que
fue hacia allí.
-"¡Cerito, si no abres la puerta soplaré, soplaré y
la casa proyectaré!.", amenazó la esfera.
-"No te tengo miedo, esfera cruel, mi casa es toda de hiperplanos dobles
y aguantará.", respondió el cerito.
Pero lo que no sabía el cerito era que la esfera había perdido
un punto en un accidente con un equipo estereográfico (la proyección
estereográfica parametriza toda la esfera menos un punto).
Se hinchó por el punto que le faltaba, y sopló tan fuerte, que
dualizó la casa del cerito convirtiendo los hiperplanos de ésta
en un montoncito de puntos insignificantes. El cerito, asustado, salió corriendo
por una sucesión que convergía directamente a casa del cerito
vago.
La malvada esfera salió corriendo detrás del cerito, pero nuestro
amigo atajó por una subsucesión que le llevó a su destino
más rápidamente. Por suerte, la esfera prefirió no adentrarse
en la subsucesión por miedo a perderse (aquí se hace patente
la ignorancia de la esfera de no conocer el Teorema Fundamental del Límite:
En una sucesión que converge, cualquier subsucesión converge
al mismo sitio), con lo que el cerito llegó con tiempo de avisar al
cerito vago y de resguardarse en la casita hecha de matrices.
Al cabo de un rato llegó la esfera. Gritó:
-"¡Jo, jo, da igual dos ceros que n ceros o uno solo, no podeis
nada contra mí, salid inmediatamente o soplaré, soplaré y
la casa reduciré!."
-"No quiero salir, esfera, mi casa es totalmente hermítica y aguantará!.",
respondió el cerito.
Entonces la esfera sopló y sopló tan fuerte que redujo todas
las matrices de la casa por columnas (si la esfera hubiera soplado hacia arriba
o abajo, hubiera reducido las matrices por filas), convirtiendo la casa en
un esqueleto compuesto de incógnitas (el cerito vago había usado
matrices de ecuaciones sin molestarse siquiera en resolverlas). Por si fuera
poco los dos ceritos hubieran salido volando de no ser porque se agarraron
a un pivote de una matriz que todavía quedaba en pie.
Pero ¿por qué era tan mala la esfera?. Según se cuenta,
la esfera estuvo trabajando en una banda criminal llamada La Banda de Moebius,
de ahí su carácter retorcido. Pero volvamos a nuestro cuento.
Despavoridos, los ceritos salieron corriendo a casa del cerito sabio. Lo encontraron
montado en una tractriz, plantando grafos en su huerto. Corrían tanto
que saltaron la cota de la casa de un salto.
-"¡Socorro, socorro, ayúdanos cerito sabio, la esfera quiere
devorarnos!."
-"No os preocupéis, entrad en mi casa, veréis cómo
la esfera no puede hacernos daño.", dijo el cerito sabio. Y dicho
esto, se metieron en la casa.
Al cabo de un rato llegó la esfera malvada. No le costó trabajo
encontrar el camino porque uno de los ceritos pisó un punto de tinta
de modo que sólo tuvo que seguir la cicloide (si una circunferencia
rueda sobre una recta, la curva que describe cualquiera de sus puntos se llama
cicloide; no olvidemos que los ceritos son redondos.) que iban dejando tras
ellos.
Una vez que llegó, gritó con todas sus fuerzas:
-"¡Por fin os tengo a los tres juntos, salid o soplaré, soplaré y
la casa despejaré!.".
-"Nunca", dijo el cerito sabio, "mi casa es fuerte y aguantará".
Entonces la malvada esfera sopló y sopló, pero como la casa era
compacta, sólo llegaron a ella un número finito de soplidos,
lo cual no llegó a afectarle mucho. La esfera, obstinada, sopló y
sopló con todas sus fuerzas, pero el cerito sabio había tenido
la precaución de hacerse una casa con superficie Gaussiana, con lo cual
todos los soplidos de la esfera se repelieron mutuamente.
La esfera quedó exhausta, y el cerito sabio aprovechó ese momento
para dejar caer sobre ella un pesado atlas de 6 tomos que recubrieron totalmente
a la esfera dejando a ésta aprisionada.
Entonces los ceritos agarraron a la esfera por una de sus geodésicas
y tirando, tirando, consiguieron deshilacharla y convertirla en una curva,
y hecho esto la llevaron a R² donde ahora podría llevar una vida
con parámetro natural.
Hecho esto, los ceritos agradecieron al cerito sabio su ayuda y prometieron
ser más trabajadores y menos confiados.
Y colorín, corolario colorado, este cuento se ha terminado.
Romance de la derivada y el arcotangente
Veraneaba una derivada enésima en un pequeño
chalet situado en la recta del infinito del plano de Gauss,
cuando conoció a un arcotangente simpatiquísimo
y de espléndida representación gráfica,
que además pertenecía a una de las mejores
familias trigonométricas. Enseguida notaron que tenían
propiedades comunes. Un día, en casa de una parábola
que había ido a pasar allí una temporada con
sus ramas alejadas, se encontraron en un punto aislado de
ambiente muy íntimo. Se dieron cuenta que convergían
hacia límites cuya diferencia era tan pequeña
como se quisiera. Había nacido un romance. Acaramelados
en un entorno de radio épsilon, se dijeron mil teoremas
de amor. Cuando el verano pasó, y las parábolas
habían vuelto al origen, la derivada y el arcotangente
eran novios. Entonces, empezaron los largos paseos por las
asíntotas siempre unidos por un punto común,
los interminables desarrollos en serie bajo los conoides
llorosos del lago, las innumerables sesiones de proyección
ortogonal. Hasta fueron al circo, donde vieron a un tropel
de funciones logarítmicas dar saltos infinitos en
sus discontinuidades. En fin, lo que eternamente hacían
los novios. Durante un baile organizado por unas cartesianas,
primas del arcotangente, la pareja pudo tener el mismo radio
de curvatura en varios puntos. Las series melódicas
eran de ritmos uniformemente crecientes y la pareja giraba
entrelazada alrededor de un mismo punto doble. Del amor había
nacido la pasión. Enamorados locamente, sus gráficas
coincidían en más y más puntos. Con
el beneficio de las ventas de unas fincas que tenía
en el campo complejo, el arcotangente compró un recinto
cerrado en el plano de Riemann. En la decoración se
gastó hasta el último infinitésimo.
Adornó las paredes con unas tablas de potenciales
de "e" preciosas, puso varios cuartos de divisiones
del término independiente que costaron una burrada.
Empapeló las habitaciones con las gráficas
de las funciones más conocidas, y puso varios paraboloides
de revolución chinos de los que surgían desarrollables
tangenciales en flor. Y Bernouilli le prestó su lemniscata
para adornar su salón durante los primeros días.
Cuando todo estuvo preparado, el arcotangente se trasladó al
punto impropio y contempló satisfecho su dominio de
existencia. Varios días después fue en busca
de la derivada de orden n y cuando llevaban un rato charlando
de variables arbitrarias, le espetó, sin más: ¿Por
qué no vamos a tomar unos neperianos a mi apartamento?
De paso lo conocerías, ha quedado monísimo.
A ella, que le quedaba muy poco para anularse, tras una breve
discusión del resultado, aceptó. El novio le
enseñó su dominio y quedó integrada.
Los neperianos y una música armónica simple
hicieron que entre sus puntos existiera una correspondencia
unívoca. Unidos así, miraron a espacio euclídeo.
Los asteroides rutilaban en la bóveda de Viviany...¡Eran
felices!
-"¿No sientes calor?" Dijo ella.
-"Yo sí, ¿y tú?"
-"Yo también."
- "Ponte en forma canónica. Estarás más cómoda."
Entonces él le fue quitando constantes. Después de artificiosas
operaciones la puso en paramétricas racionales......
-"¿Qué haces? Me da vergüenza...." dijo ella.
-"Te amo, ¡yo estoy inverso por ti....!"
-"Déjame besarte la ordenada en el origen....¡No seas cruel!.....¡ven!."
- "Dividamos por un momento la nomenclatura ordinaria y tendamos juntos
al infinito."
Él le acarició sus máximos y sus mínimos y ella se
sintió descomponer en fracciones simples. (Las siguientes operaciones
quedan a la penetración del lector).
Al cabo de algún tiempo, la derivada enésima perdió su
periodicidad. Posteriores análisis algebraicos demostraron que su variable
había quedado incrementada y su matriz era distinta de cero. Ella le
confesó a él, saliéndole los colores "voy a ser primitiva
de otra función". Él la respondió: "podríamos
eliminar el parámetro elevando al cuadrado y restando". "Eso
es que ya no me quieres". "No seas irracional, claro que te quiero.
Nuestras ecuaciones formarán una superficie cerrada, confía en
mi". La boda se preparó en un tiempo diferencial de "t",
para no dar que hablar en el círculo de los 9 puntos. Los padrinos fueron
el padre de la novia, un polinomio lineal de exponente entero, y la madre del
novio, una asiroide de noble asíntota. La novia lucía coordenadas
cilíndricas de "Satung" y velo de puntos imaginarios. Ofició la
ceremonia Cayley, auxiliado por Pascal y el nuncio S.S.= Monseñor Ricatti.
Hoy día el arcotangente tiene un buen puesto en una fábrica de
series de Fourier, y ella cuida en casa de 5 lindos términos de menor
grado, producto cartesiano de su amor.
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